Есть файлообменник, например dropmefiles.com

Он дает ссылку на скачивание файла, без капчей, но не прямая.

Хочется скачать ее на стороне сервера 1С, сохранить в файл и дальше с ним работать.

Прямой http get запрос скачивает страницу или переадресуется.
Средства IE через COM не позволяют скачать файл. Можно перейти по ссылке, кликнуть по кнопке, а дальше диалог "открыть или сохранить" автоматом не нажать и не пропустить (или есть способ?).
Какой-то download manager с пакетным запуском может и сможет, но не нашел таких.

Есть у кого инструмент, чтобы скачивать файлы на сервере? Наподобие браузера, чтобы можно было программно тыкать кнопки и работать с загрузками файлов

Добрый день)

Никто не сталкивался?

посмотрите в код HTML этой страницы.. может, что там упростит вам жизнь..

В коде есть более прямые ссылки, но они переадресуются на исходную, при http запросе.

Надо смотреть на заголовки запроса и ответа. И следовать их указаниям.
Возьми какой-нибудь фиддлер и проанализируй.

(0) Cookie и Referer очень желательно передавать. Не факт, что сработает, но вероятность есть.